Notas de palestras de negociação de opções
Do capítulo 10 do casco.
Combinando uma posição de estoque com uma opção permite que o investidor coloque uma tampa ou um piso no pagamento. Mas isso tem uma implicação mais sutil - isso pode nos permitir ter outra visão da paridade de put-call.
Considere o lucro para comprar uma ação e comprar um put com strike K. A função de lucro da ação, S 0, é.
e a função de lucro para a put, p, comprada com algum custo (de modo que o investidor perde algum dinheiro se o preço da ação subir e a put não for exercida) é.
então o lucro para a função combinada é a linha roxa:
O lucro para essa combinação, que eu chamei de "Z", se parece muito com o lucro de comprar uma chamada, c, com algum custo:
O que poderia custar ser? Lembre-se de nossa fórmula para a paridade put-call, que para uma ação que não paga dividendos, p + S 0 = c + Ke - rT. Qual é o pagamento de uma carteira com um put e um compartilhamento de estoque? Isso é o & quot; p + S 0 & quot; parte. Que é igual a? Uma chamada, & quot; c & quot ;, mais alguma quantia de dinheiro, & quot; Ke - rT ". Então, poderíamos também derivar nossa fórmula sobre a paridade de put-call da equivalência das funções de pagamento."
Este é um exemplo de um resultado mais geral: se duas carteiras oferecem as mesmas funções de pagamento, se não tiverem o mesmo valor de mercado atual, haverá oportunidades de arbitragem (que, em um mercado em perfeito funcionamento, estariam ausentes). Em outras palavras, se os mercados são eficientes, então dois portfólios que dão os mesmos retornos devem ter o mesmo valor. Vamos fazer algum trabalho para mostrar que qualquer padrão de pagamento pode ser replicado com combinações de puts e calls para mostrar isso, uma vez que recebemos avaliações de opções de compra e venda, fizemos todo o trabalho necessário - qualquer outro portfólio pode ser valorizado!
Podemos passar a reordenar a equação de paridade de put-call e descobrir outros ganhos. Rearranje de modo que S 0 c = Ke - rT p e isso diz que um put curto (& quot; - p & quot;) com alguma quantidade de dinheiro tem o mesmo valor que uma posição longa (& quot; S 0 & quot;) e posição de chamada curta (& quot; - c & quot;) Este diagrama é:
onde agora "Z" Parece que a função de recompensa para um curto colocar. Podemos continuar a reorganizar para mostrar que a longa e curta chamada também pode ser replicada.
Os participantes do mercado nomearam uma variedade de diferentes combinações de opções. Entre eles estão:
Spread Bull: compra uma call com K 1 e vende uma call com K 2 (K 2 & gt; K 1) Money-ness determina o custo se K 1 e K 2 estiverem fora do dinheiro, então isso é de baixo custo se K 1 está inicialmente no dinheiro, mas K 2 está fora se ambos estiverem dentro do dinheiro. Também pode ser replicado com puts: comprar um put em K 1 e vender em K 2.
Lucro se grandes movimentos em qualquer direção, straddle write ou top straddle tem payoffs opostos.
Supôs-se que todas estas opções utilizavam a mesma data de expiração, mas & quot; spreads de calendário & quot; use expirações diferentes para complicar ainda mais os payoffs de posição.
Se as opções estiverem disponíveis a qualquer preço de exercício, podemos replicar qualquer função de pagamento usando calls e puts.
Palestras de Vídeo.
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Parte I das Opções.
Descrição: Esta palestra em vídeo apresenta opções, um derivado, como outro tipo de segurança. Os dois tipos diferentes de opções, chamadas e puts, e termos-chave usados na descrição de opções são definidos.
Opções II.
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Parte II das Opções.
Descrição: Esta palestra em vídeo cobre a interpretação de diagramas de payoff de opções de compra e venda e como usar os diagramas na estratégia de opções e apostar na volatilidade. Um breve histórico para a teoria de precificação de opções também é dado.
Opções III.
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Parte III das Opções.
Descrição: Esta palestra em vídeo continua cobrindo os preços das opções, derivando um modelo binomial generalizado e as implicações das condições sob as quais a fórmula é válida.
O vídeo da Parte I das Opções abrange os slides 1 & ndash; 4 O vídeo da Parte II das Opções abrange os slides 3 & ndash; 27 O vídeo da Parte III das Opções abrange os slides 16 a 30;
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Notas de palestras de negociação de opções
Notas de Aula 8, Black-Scholes - Avaliação da Opção de Merton - 3 explicações separadas!
K Foster, CCNY, Primavera de 2010.
Resultados de Aprendizagem (do exame CFA)
Os alunos serão capazes de:
§ explicar os pressupostos subjacentes ao modelo de Black-Scholes-Merton e suas limitações;
§ usar o modelo Black-Scholes-Merton para calcular os preços das opções;
Do capítulo 13 do casco.
A fórmula de Black-Scholes-Merton é um dos destaques da teoria das finanças. Mark Rubinstein, ex-presidente da American Finance Association, descreveu-o como "um dos mais bem sucedidos nas ciências sociais e talvez tenha ... a fórmula mais amplamente utilizada, com probabilidades embutidas, na história da humanidade" (Journal of Finance, 49 (3), p. 772). No entanto, pode ser frustrante aprendê-lo, já que a fórmula chave parece retirada do ar para resolver uma equação diferencial. Você pode ler os artigos originais (do JStor na biblioteca):
Black, Fischer e Myron Scholes (1973). & quot; O preço de opções e passivos corporativos, & quot; O Jornal da Economia Política, 81 (3), 637-54.
Merton, Robert C., (1973). "Teoria do Preço da Opção Racional," O Bell Journal of Economics e Management Science, 4 (1), 141-83.
Suponha que V S seja o processo Wiener, V S = µ Sdt + s Sdz.
Se este é um modelo de preço de uma ação, então queremos ver como os retornos variam, onde o retorno percentual é (S 1 - S 0) / S 0 = & # 8710; S / S e do cálculo, a derivada de ln (S) é dS / S ou & # 8710; S / S.
Então, primeiro encontre a distribuição de ln (S). Pelo lema de Itf:
temos que encontrar as primeira e segunda derivadas de ln (S):
e, claro, para que:
Isso provavelmente não parece intuitivo: por que precisamos subtrair um termo para a volatilidade?
No entanto, isso implica que ln (S) tem uma distribuição normal, que também pode ser declarada como S tem uma distribuição log-normal. Se uma distribuição normal se parece com isso:
uma distribuição log-normal é assim:
desde exp (0) = 1, a mediana ainda está em 1, no entanto, a média é inclinada para a direita. Isso pode parecer um modelo melhor para mudanças de estoque: um preço de ação nunca pode ser negativo (isso define a corporação de responsabilidade limitada), mas os ganhos de alta podem ser enormes (embora com uma probabilidade muito pequena).
Então o Lema de Itf nos diz que a distribuição de ln (S T) será normal com média e desvio padrão. Alternativamente, poderíamos expressar isso observando que ln (S T) - ln (S 0) = ln (S T / S 0) tem média e o mesmo desvio padrão.
Agora queremos descobrir a distribuição de x, onde x é o retorno de um estoque durante um período de tempo,
. Isso está apenas se dividindo por uma constante (T), então a nova média será e o desvio padrão será.
Suposições do modelo Black-Scholes - Merton:
O estoque tem distribuição log-normal As vendas a descoberto são permitidas sem restrições Sem custos de transação ou impostos Sem oportunidades de arbitragem sem risco Negociação contínua de valores mobiliários Taxa de juros livre de risco, r, é constante para todos os vencimentos.
Algumas dessas suposições serão mais tarde relaxadas, mas as manteremos por enquanto.
Fórmulas de Black-Scholes:
Modifique as fórmulas de valor intrínseco (e lembre-se das fórmulas de limite inferior) para obter algo que se pareça com os análogos de valor presente esperados:
Lembre-se que descobrimos que ele tem um limite inferior de S 0 - Ke-rT, que em certo sentido é o valor presente analógico de seu valor intrínseco.
dá o preço da chamada. Este é um excelente palpite! Descobrir as funções exatas dessas probabilidades é um pouco complicado, mas é para isso que o BSM recebeu um prêmio Nobel. A fórmula preenche as chamadas normais para essas probabilidades.
Da mesma forma para puts,
tem limite inferior de Ke - rT - S 0, então a fórmula do BSM preenche probabilidades, & # 960; 3 e & # 960; 4, na fórmula,
Os parâmetros d 1 e d 2 podem ser vistos como medindo a localização do preço de exercício em relação ao valor esperado do estoque. Eles são a medida padronizada de quantos desvios padrão da média é o valor,. Essas probabilidades descontam os termos de valor intrínseco para o call e put.
Recebemos um preço atual da ação e um preço de exercício, e queremos descobrir a que distância está o preço de exercício, do provável valor futuro da ação. Quão longe está longe? Alguns centavos podem não ser muito se as ações forem negociadas a US $ 75 por ação, mas para "ações ordinárias". Poderia ser um caminho muito longo. É a volatilidade que dá a resposta. Então, queremos tirar a distância entre S 0 e K (na verdade, o logaritmo natural da distância, já que assumimos uma distribuição de retornos), 0 - lnK>, subtrair a média (esse é o termo) e dividir por o desvio padrão.
Considere o problema graficamente do ponto de vista da avaliação neutra ao risco. Nós temos S 0 e K, onde assumimos que S T é distribuído log-normal. Então, se estivéssemos valorizando uma chamada fora do dinheiro, poderíamos ter algo assim:
Onde a área sombreada vermelha é onde a ligação seria paga. O primeiro passo é traduzir essa distribuição log-normal em uma normal padrão, o que é feito transformando-se a média e a variância, para que possamos obter algo como:
Então, queremos encontrar o valor esperado de uma recompensa que começa em zero em K e se eleva acima desse nível.
Esta opção de compra tem valor max (S T - K, 0), portanto, seu valor esperado descontado é e - rT E [max (S T - K, 0)], que é. A razão para os termos separados d 1 e d 2 é que eles se relacionam com diferentes valores esperados: uma opção de compra autoriza o portador a obter S T se S T & gt; K mas custa K (mas não mais) se S T & gt; Se reescrevermos a fórmula de Black-Scholes, então o segundo termo é a probabilidade de que a ação chegará ao preço de exercício, K. O primeiro termo é a probabilidade de que a opção retorne o preço da ação (ou seja, estar acima da greve) - e será zero se não for.
A fórmula de Black-Scholes é uma solução para a equação diferencial de Black-Scholes (que é uma forma da equação do calor). Retornar ao & quot; hedging delta & quot; argumento. Poderíamos comprar ações V para formar uma proteção perfeita contra os movimentos de uma opção. (Na verdade, é apenas uma proteção perfeita para mudanças infinitesimais, mas por enquanto vamos eliminar esse problema.) O que é delta? Se rotularmos o preço da opção como p (algum preço), é claro que p é uma função do valor do estoque e do tempo, então podemos escrever p (S, t). Então, se o preço das ações mudar por V S, o preço da opção será alterado, então, se tivermos uma cobertura perfeita. Então a posição é (V S - p), ou dividindo por V, (S - p / V). Como essa é uma carteira sem risco, ela deve retornar r V t (ou então existem oportunidades de arbitragem). Como há pequenas alterações, o valor é (dS - dp / V), mas precisamos de algum cálculo estocástico (o It's Lemma) para obter um valor de dp. Lembre-se disso.
então, substituindo de volta,
. Defina isso como igual à taxa sem risco e obtenha.
. Existe uma condição de contorno, que é a definição da opção, que p (x, T) = payoff (na data T, a data de validade). A solução para essa equação diferencial parcial é a equação de Black-Scholes.
Um pouco mais de intuição:
Podemos verificar se os resultados da fórmula mudam como esperávamos intuitivamente, dados os diferentes argumentos de entrada.
O retorno de ações não aparece explicitamente na fórmula, exceto na medida em que afeta o preço atual. O tempo até o vencimento da opção aparece apenas multiplicado pela taxa de juros livre de risco e pela volatilidade, portanto, esses aspectos são bastante intuitivos. Conforme o tempo até o vencimento, a volatilidade ou o aumento da taxa livre de risco (T, s ou r), o valor da opção aumenta em direção ao seu valor intrínseco.
Como a volatilidade cai para zero, então se a opção já estiver no dinheiro, a probabilidade de que ela permaneça ali vai para 1 e a opção vale o valor intrínseco. Se a opção estivesse fora do dinheiro, então uma baixa volatilidade significa que é cada vez menos provável que valha mais do que zero.
À medida que o preço da ação sobe (S 0), torna-se quase certo que a opção será exercida e o preço da chamada sobe para S 0 - e - rT K, conforme d1 e d2 aumentam de modo que cdf N () de cada um deles cada vez mais perto de 1. Um preço de venda iria na outra direção quando o preço das ações subisse; novamente - d1 e - d 2 conduziriam os termos do cdf N () para zero.
Consulte a planilha do Excel mostrando como as alterações nos parâmetros afetam os preços de compra e venda. (Estes são "os gregos" - mas vamos chegar a isso mais tarde).
Na prática, algumas das suposições cruciais de Black-Scholes não são verdadeiras, portanto as fórmulas não são exatas. No entanto, eles são, no entanto, frequentemente utilizados em sentido inverso para gerar uma volatilidade a partir de um determinado preço de opção. Se um preço de compra no dinheiro é de US $ 6,46, isso é um preço bom ou ruim? Depende do preço atual do estoque, de maneira não linear. Uma maneira diferente de precificar uma opção é citar sua volatilidade implícita - ou seja, a volatilidade que, colocada na equação de Black-Scholes, daria o preço que é "realmente"; sendo cotado. Isso pode permitir que um participante do mercado julgue melhor se o preço é bom ou ruim perguntando: a volatilidade é razoável? Se a volatilidade implícita é muito alta, o preço é alto; Se a volatilidade implícita for baixa, o preço é baixo. Note que isso é feito, embora todos saibam que o modelo de Black-Scholes não é o modelo "verdadeiro". descrição dos preços das opções! Ele ainda fornece uma maneira prática de traduzir os preços.
É claro que descobrir essas volatilidades não é uma tarefa pequena, já que não existe uma fórmula simples. É preciso um programa de pesquisa de computador para fazer isso - adivinhar números e, em seguida, trabalhar para melhorar a estimativa até que esteja dentro de algum intervalo de critério.
Relação com árvores binomiais.
Finalmente, note que obteríamos a mesma resposta adotando um modelo de árvore binomial durante um período de tempo fixo, mas tomando cada vez mais passos cada vez menores.
Tutorial Forex: O Mercado Forex.
O mercado de câmbio (forex ou FX) é um dos mercados mais empolgantes e em ritmo acelerado. Até recentemente, a negociação forex no mercado de câmbio tinha sido o domínio de grandes instituições financeiras, corporações, bancos centrais, fundos hedge e indivíduos extremamente ricos. O surgimento da Internet mudou tudo isso, e agora é possível para os investidores médios comprar e vender moedas facilmente com o clique de um mouse através de contas de corretagem on-line.
Flutuações monetárias diárias são geralmente muito pequenas. A maioria dos pares de moedas movimenta menos de um centavo por dia, representando uma mudança menor que 1% no valor da moeda. Isso faz do câmbio um dos mercados financeiros menos voláteis da região. Portanto, muitos especuladores monetários dependem da enorme alavancagem para aumentar o valor dos movimentos potenciais. No mercado forex de varejo, a alavancagem pode ser tanto quanto 250: 1. A alavancagem mais alta pode ser extremamente arriscada, mas por causa da negociação ininterrupta e da liquidez profunda, os corretores de câmbio têm conseguido fazer da alta alavancagem um padrão da indústria para tornar os movimentos significativos para os traders de câmbio.
A extrema liquidez e a disponibilidade de alta alavancagem ajudaram a estimular o rápido crescimento do mercado e tornaram o local ideal para muitos traders. Posições podem ser abertas e fechadas em minutos ou podem ser realizadas por meses. Os preços das moedas baseiam-se em considerações objetivas de oferta e demanda e não podem ser manipulados facilmente, porque o tamanho do mercado não permite que até mesmo os maiores participantes, como os bancos centrais, movam os preços à vontade.
O mercado forex oferece muitas oportunidades para os investidores. No entanto, para ser bem sucedido, um comerciante de moeda tem que entender o básico por trás dos movimentos de moeda.
O objetivo deste tutorial forex é fornecer uma base para investidores ou comerciantes que são novos para os mercados de moeda estrangeira. Abordaremos os fundamentos das taxas de câmbio, a história do mercado e os principais conceitos que você precisa entender para poder participar desse mercado. Também nos aventuraremos em como começar a negociar moedas estrangeiras e os diferentes tipos de estratégias que podem ser empregadas.
Derivativos - Finanças e Economia - Notas de Aula, Notas de Estudo para Finanças. Amity Business School.
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• UM INSTRUMENTO DERIVADO É UM EM QUE O DESEMPENHO É DETERMINADO PELO DESEMPENHO DE OUTRO INSTRUMENTO.
- OPÇÕES DE AÇÕES - FUTUROS CONTRATOS - FORWARD CONTRACTS - SWAPS.
OPÇÕES Contrato de Opção - Contrato que dá ao proprietário o direito de comprar.
ou vender um ativo a um determinado preço dentro de um período de tempo especificado.
Contrato de Opção - O comprador é o titular e o vendedor é o escritor.
OPÇÕES Opção de compra - dá ao titular o direito de comprar um determinado número de ações de um determinado.
estoque a um preço especificado em ou antes de uma determinada data. Opção de venda - Concede ao titular o direito de vender um determinado número de ações em uma.
preço especificado em ou antes de uma determinada data. Exercício ou Preço de Exercício - O preço pelo qual o detentor da opção pode comprar ou vender 100.
ações no contrato de opção. Data de vencimento - Último dia em que a opção pode ser exercida.
VALOR DA OPÇÃO DE CHAMADA NA EXPIRAÇÃO.
V = Máx [0, S - X] V = Preço da Chamada S = Preço do Estoque X = Exercício ou Preço de Exercício V = f (S, X, T, rrf, σ2) T = Tempo σ2 = Variação dos retornos das ações rf = Taxa Livre de Risco.
LIGUE A OPÇÃO À IBM.
Preço da Ação da IBM STRIKE EXP VOL LAST 178,50 160 Dez 376 25,10 178,50 165 Dez 1763 18 178,50 170 Jan 466 11 178,50 180 Jan 1746 7,50 178,50 190 Jan 885 6,80 Valor do Exercício Opção Excesso Acima Preço Preço Expiração Preço Valor de Vencimento 178,50 160 Dez 18 .50 25,10 6,60 178,50 170 Jan 8,50 11 2,50.
Ted Westfall estava considerando a compra de 100 ações ordinárias da Stopgap Corporation por US $ 32,40 por ação no último dia de outubro. Como alternativa, Len Griffen, vizinho de Ted, sugeriu que Ted considerasse uma opção de Stopgap. Juntos, eles examinaram as informações a seguir que foram obtidas de seu corretor. O preço dos exercícios é de 30,6 2 35 3,50 4,75 Quais são os lucros e as taxas de retorno do Ted se ele fizer as seguintes compras e, posteriormente, fechar sua posição no vencimento, dados os preços das ações conforme indicado abaixo? uma. Uma chamada com um preço de exercício de 30. A ação termina em 41,90. b. Uma chamada com um preço de exercício de 35. A ação termina em 33. c. Um put com um preço de exercício de 30. O estoque termina em 37. d. Um põr com um preço de exercício de 35. O estoque termina em 29.
PREÇO DE OPÇÕES O Modelo Black Scholes de Precificação de Opção baseia-se no conceito de hedge sem risco.
Cobertura sem risco Ao comprar a quantidade apropriada de estoque e vender chamadas, pode-se garantir o mesmo pagamento.
na expiração da carteira de ações, independentemente de onde o preço da ação acabe.
No vencimento - o intervalo de preços das ações Faixa Preço de ações Baixo $ 30 Alto $ 50 Faixa de $ 20.
PREÇO DE OPÇÕES Suponha que o preço de exercício seja de $ 35. X = $ 35.
Range Stock Price Valor de Call Low $ 30 $ 0 High $ 50 $ 15 Range $ 20 $ 15 O intervalo de pagamentos precisa ser idêntico para ter um hedge perfeito. Ao comprar 0,75 ações e vender uma ligação, o intervalo de pagamentos é igual.
OPÇÃO PRICING Gama de ações Preço Valor de venda Baixo $ 22.50 $ 0 Alto $ 37.50 $ 15 Intervalo $ 15 $ 15 Portfólio - compre .75 ações e venda uma chamada. Valor do estoque de venda de um preço de intervalo final .75 Ações Chamada de carteira baixa $ 30 $ 22,50 - $ 0 = $ 22,50 Alta $ 50 $ 37,50 - $ 15 = $ 22,50 $ 22,50 é o valor da carteira no vencimento se o preço da ação cair em qualquer lugar.
VALORIZAÇÃO DAS OPÇÕES DE AÇÕES Se houver um ano para expirar e o preço do estoque for igual a US $ 40 por ação, poderíamos.
calcular o valor da opção de compra agora. 1. Sabemos o valor da carteira de ações compradas .75 e uma chamada curta no.
a ação vale US $ 22,50 no vencimento. Como isso é certo, podemos descontar o valor da carteira na taxa livre de risco. rrf = 8%
2. Valor da carteira um ano após o vencimento Valor da Carteira = $ 22,50 * 1 / 1,08 = $ 20,83 3. Valor da Chamada = 0,75 (40) - 20,83 = $ 9,17.
MODELO DE PREÇO DO PREÇO DAS ESCOLHAS NEGRAS V = S [N (d1)] - X e – r rf * T [N (d2)] ln (S / X) + [rrf + (σ2 / 2)] * T d1 = - ----------------------------------- σ (T) 1/2.
d2 = d1 - σ (T) 1/2 V = Valor atual da chamada S = Preço atual do estoque subjacente. N (di) = Probabilidade de que um sorteio aleatório de uma distribuição normal padrão seja menor.
de di X = Preço de Exercício rf = Taxa Livre de Risco T = Tempo ln (S / X) = Logaritmo Natural de S / X σ2 = Variação da taxa de retorno do estoque.
PREMISSAS DE PREGOS SCHOLES.
• O estoque subjacente à opção de compra não fornece dividendos durante a vida do.
opção. • sem custos de transação • A taxa livre de risco é conhecida e constante e = Função Exponencial 2.7183 • A opção de compra só pode ser exercida na data de vencimento. • Assume que não há dividendos pagos. • A negociação de segurança ocorre em tempo contínuo.
Áreas para uma distribuição normal padrão Uma entrada na tabela é a área sob a curva, entre z = O e um valor positivo de z. Áreas para valores negativos de z são obtidas por simetria.
Notas de Aula 8, Black-Scholes - Avaliação da Opção de Merton - 3 explicações separadas!
K Foster, CCNY, Primavera de 2010.
Resultados de Aprendizagem (do exame CFA)
Os alunos serão capazes de:
§ explicar os pressupostos subjacentes ao modelo de Black-Scholes-Merton e suas limitações;
§ usar o modelo Black-Scholes-Merton para calcular os preços das opções;
Do capítulo 13 do casco.
A fórmula de Black-Scholes-Merton é um dos destaques da teoria das finanças. Mark Rubinstein, ex-presidente da American Finance Association, descreveu-o como "um dos mais bem sucedidos nas ciências sociais e talvez tenha ... a fórmula mais amplamente utilizada, com probabilidades embutidas, na história da humanidade" (Journal of Finance, 49 (3), p. 772). No entanto, pode ser frustrante aprendê-lo, já que a fórmula chave parece retirada do ar para resolver uma equação diferencial. Você pode ler os artigos originais (do JStor na biblioteca):
Black, Fischer e Myron Scholes (1973). & quot; O preço de opções e passivos corporativos, & quot; O Jornal da Economia Política, 81 (3), 637-54.
Merton, Robert C., (1973). "Teoria do Preço da Opção Racional," O Bell Journal of Economics e Management Science, 4 (1), 141-83.
Suponha que V S seja o processo Wiener, V S = µ Sdt + s Sdz.
Se este é um modelo de preço de uma ação, então queremos ver como os retornos variam, onde o retorno percentual é (S 1 - S 0) / S 0 = & # 8710; S / S e do cálculo, a derivada de ln (S) é dS / S ou & # 8710; S / S.
Então, primeiro encontre a distribuição de ln (S). Pelo lema de Itf:
temos que encontrar as primeira e segunda derivadas de ln (S):
e, claro, para que:
Isso provavelmente não parece intuitivo: por que precisamos subtrair um termo para a volatilidade?
No entanto, isso implica que ln (S) tem uma distribuição normal, que também pode ser declarada como S tem uma distribuição log-normal. Se uma distribuição normal se parece com isso:
uma distribuição log-normal é assim:
desde exp (0) = 1, a mediana ainda está em 1, no entanto, a média é inclinada para a direita. Isso pode parecer um modelo melhor para mudanças de estoque: um preço de ação nunca pode ser negativo (isso define a corporação de responsabilidade limitada), mas os ganhos de alta podem ser enormes (embora com uma probabilidade muito pequena).
Então o Lema de Itf nos diz que a distribuição de ln (S T) será normal com média e desvio padrão. Alternativamente, poderíamos expressar isso observando que ln (S T) - ln (S 0) = ln (S T / S 0) tem média e o mesmo desvio padrão.
Agora queremos descobrir a distribuição de x, onde x é o retorno de um estoque durante um período de tempo,
. Isso está apenas se dividindo por uma constante (T), então a nova média será e o desvio padrão será.
Suposições do modelo Black-Scholes - Merton:
O estoque tem distribuição log-normal As vendas a descoberto são permitidas sem restrições Sem custos de transação ou impostos Sem oportunidades de arbitragem sem risco Negociação contínua de valores mobiliários Taxa de juros livre de risco, r, é constante para todos os vencimentos.
Algumas dessas suposições serão mais tarde relaxadas, mas as manteremos por enquanto.
Fórmulas de Black-Scholes:
Modifique as fórmulas de valor intrínseco (e lembre-se das fórmulas de limite inferior) para obter algo que se pareça com os análogos de valor presente esperados:
Lembre-se que descobrimos que ele tem um limite inferior de S 0 - Ke-rT, que em certo sentido é o valor presente analógico de seu valor intrínseco.
dá o preço da chamada. Este é um excelente palpite! Descobrir as funções exatas dessas probabilidades é um pouco complicado, mas é para isso que o BSM recebeu um prêmio Nobel. A fórmula preenche as chamadas normais para essas probabilidades.
Da mesma forma para puts,
tem limite inferior de Ke - rT - S 0, então a fórmula do BSM preenche probabilidades, & # 960; 3 e & # 960; 4, na fórmula,
Os parâmetros d 1 e d 2 podem ser vistos como medindo a localização do preço de exercício em relação ao valor esperado do estoque. Eles são a medida padronizada de quantos desvios padrão da média é o valor,. Essas probabilidades descontam os termos de valor intrínseco para o call e put.
Recebemos um preço atual da ação e um preço de exercício, e queremos descobrir a que distância está o preço de exercício, do provável valor futuro da ação. Quão longe está longe? Alguns centavos podem não ser muito se as ações forem negociadas a US $ 75 por ação, mas para "ações ordinárias". Poderia ser um caminho muito longo. É a volatilidade que dá a resposta. Então, queremos tirar a distância entre S 0 e K (na verdade, o logaritmo natural da distância, já que assumimos uma distribuição de retornos), 0 - lnK>, subtrair a média (esse é o termo) e dividir por o desvio padrão.
Considere o problema graficamente do ponto de vista da avaliação neutra ao risco. Nós temos S 0 e K, onde assumimos que S T é distribuído log-normal. Então, se estivéssemos valorizando uma chamada fora do dinheiro, poderíamos ter algo assim:
Onde a área sombreada vermelha é onde a ligação seria paga. O primeiro passo é traduzir essa distribuição log-normal em uma normal padrão, o que é feito transformando-se a média e a variância, para que possamos obter algo como:
Então, queremos encontrar o valor esperado de uma recompensa que começa em zero em K e se eleva acima desse nível.
Esta opção de compra tem valor max (S T - K, 0), portanto, seu valor esperado descontado é e - rT E [max (S T - K, 0)], que é. A razão para os termos separados d 1 e d 2 é que eles se relacionam com diferentes valores esperados: uma opção de compra autoriza o portador a obter S T se S T & gt; K mas custa K (mas não mais) se S T & gt; Se reescrevermos a fórmula de Black-Scholes, então o segundo termo é a probabilidade de que a ação chegará ao preço de exercício, K. O primeiro termo é a probabilidade de que a opção retorne o preço da ação (ou seja, estar acima da greve) - e será zero se não for.
A fórmula de Black-Scholes é uma solução para a equação diferencial de Black-Scholes (que é uma forma da equação do calor). Retornar ao & quot; hedging delta & quot; argumento. Poderíamos comprar ações V para formar uma proteção perfeita contra os movimentos de uma opção. (Na verdade, é apenas uma proteção perfeita para mudanças infinitesimais, mas por enquanto vamos eliminar esse problema.) O que é delta? Se rotularmos o preço da opção como p (algum preço), é claro que p é uma função do valor do estoque e do tempo, então podemos escrever p (S, t). Então, se o preço das ações mudar por V S, o preço da opção será alterado, então, se tivermos uma cobertura perfeita. Então a posição é (V S - p), ou dividindo por V, (S - p / V). Como essa é uma carteira sem risco, ela deve retornar r V t (ou então existem oportunidades de arbitragem). Como há pequenas alterações, o valor é (dS - dp / V), mas precisamos de algum cálculo estocástico (o It's Lemma) para obter um valor de dp. Lembre-se disso.
então, substituindo de volta,
. Defina isso como igual à taxa sem risco e obtenha.
. Existe uma condição de contorno, que é a definição da opção, que p (x, T) = payoff (na data T, a data de validade). A solução para essa equação diferencial parcial é a equação de Black-Scholes.
Um pouco mais de intuição:
Podemos verificar se os resultados da fórmula mudam como esperávamos intuitivamente, dados os diferentes argumentos de entrada.
O retorno de ações não aparece explicitamente na fórmula, exceto na medida em que afeta o preço atual. O tempo até o vencimento da opção aparece apenas multiplicado pela taxa de juros livre de risco e pela volatilidade, portanto, esses aspectos são bastante intuitivos. Conforme o tempo até o vencimento, a volatilidade ou o aumento da taxa livre de risco (T, s ou r), o valor da opção aumenta em direção ao seu valor intrínseco.
Como a volatilidade cai para zero, então se a opção já estiver no dinheiro, a probabilidade de que ela permaneça ali vai para 1 e a opção vale o valor intrínseco. Se a opção estivesse fora do dinheiro, então uma baixa volatilidade significa que é cada vez menos provável que valha mais do que zero.
À medida que o preço da ação sobe (S 0), torna-se quase certo que a opção será exercida e o preço da chamada sobe para S 0 - e - rT K, conforme d1 e d2 aumentam de modo que cdf N () de cada um deles cada vez mais perto de 1. Um preço de venda iria na outra direção quando o preço das ações subisse; novamente - d1 e - d 2 conduziriam os termos do cdf N () para zero.
Consulte a planilha do Excel mostrando como as alterações nos parâmetros afetam os preços de compra e venda. (Estes são "os gregos" - mas vamos chegar a isso mais tarde).
Na prática, algumas das suposições cruciais de Black-Scholes não são verdadeiras, portanto as fórmulas não são exatas. No entanto, eles são, no entanto, frequentemente utilizados em sentido inverso para gerar uma volatilidade a partir de um determinado preço de opção. Se um preço de compra no dinheiro é de US $ 6,46, isso é um preço bom ou ruim? Depende do preço atual do estoque, de maneira não linear. Uma maneira diferente de precificar uma opção é citar sua volatilidade implícita - ou seja, a volatilidade que, colocada na equação de Black-Scholes, daria o preço que é "realmente"; sendo cotado. Isso pode permitir que um participante do mercado julgue melhor se o preço é bom ou ruim perguntando: a volatilidade é razoável? Se a volatilidade implícita é muito alta, o preço é alto; Se a volatilidade implícita for baixa, o preço é baixo. Note que isso é feito, embora todos saibam que o modelo de Black-Scholes não é o modelo "verdadeiro". descrição dos preços das opções! Ele ainda fornece uma maneira prática de traduzir os preços.
É claro que descobrir essas volatilidades não é uma tarefa pequena, já que não existe uma fórmula simples. É preciso um programa de pesquisa de computador para fazer isso - adivinhar números e, em seguida, trabalhar para melhorar a estimativa até que esteja dentro de algum intervalo de critério.
Relação com árvores binomiais.
Finalmente, note que obteríamos a mesma resposta adotando um modelo de árvore binomial durante um período de tempo fixo, mas tomando cada vez mais passos cada vez menores.
Tutorial Forex: O Mercado Forex.
O mercado de câmbio (forex ou FX) é um dos mercados mais empolgantes e em ritmo acelerado. Até recentemente, a negociação forex no mercado de câmbio tinha sido o domínio de grandes instituições financeiras, corporações, bancos centrais, fundos hedge e indivíduos extremamente ricos. O surgimento da Internet mudou tudo isso, e agora é possível para os investidores médios comprar e vender moedas facilmente com o clique de um mouse através de contas de corretagem on-line.
Flutuações monetárias diárias são geralmente muito pequenas. A maioria dos pares de moedas movimenta menos de um centavo por dia, representando uma mudança menor que 1% no valor da moeda. Isso faz do câmbio um dos mercados financeiros menos voláteis da região. Portanto, muitos especuladores monetários dependem da enorme alavancagem para aumentar o valor dos movimentos potenciais. No mercado forex de varejo, a alavancagem pode ser tanto quanto 250: 1. A alavancagem mais alta pode ser extremamente arriscada, mas por causa da negociação ininterrupta e da liquidez profunda, os corretores de câmbio têm conseguido fazer da alta alavancagem um padrão da indústria para tornar os movimentos significativos para os traders de câmbio.
A extrema liquidez e a disponibilidade de alta alavancagem ajudaram a estimular o rápido crescimento do mercado e tornaram o local ideal para muitos traders. Posições podem ser abertas e fechadas em minutos ou podem ser realizadas por meses. Os preços das moedas baseiam-se em considerações objetivas de oferta e demanda e não podem ser manipulados facilmente, porque o tamanho do mercado não permite que até mesmo os maiores participantes, como os bancos centrais, movam os preços à vontade.
O mercado forex oferece muitas oportunidades para os investidores. No entanto, para ser bem sucedido, um comerciante de moeda tem que entender o básico por trás dos movimentos de moeda.
O objetivo deste tutorial forex é fornecer uma base para investidores ou comerciantes que são novos para os mercados de moeda estrangeira. Abordaremos os fundamentos das taxas de câmbio, a história do mercado e os principais conceitos que você precisa entender para poder participar desse mercado. Também nos aventuraremos em como começar a negociar moedas estrangeiras e os diferentes tipos de estratégias que podem ser empregadas.
Derivativos - Finanças e Economia - Notas de Aula, Notas de Estudo para Finanças. Amity Business School.
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• UM INSTRUMENTO DERIVADO É UM EM QUE O DESEMPENHO É DETERMINADO PELO DESEMPENHO DE OUTRO INSTRUMENTO.
- OPÇÕES DE AÇÕES - FUTUROS CONTRATOS - FORWARD CONTRACTS - SWAPS.
OPÇÕES Contrato de Opção - Contrato que dá ao proprietário o direito de comprar.
ou vender um ativo a um determinado preço dentro de um período de tempo especificado.
Contrato de Opção - O comprador é o titular e o vendedor é o escritor.
OPÇÕES Opção de compra - dá ao titular o direito de comprar um determinado número de ações de um determinado.
estoque a um preço especificado em ou antes de uma determinada data. Opção de venda - Concede ao titular o direito de vender um determinado número de ações em uma.
preço especificado em ou antes de uma determinada data. Exercício ou Preço de Exercício - O preço pelo qual o detentor da opção pode comprar ou vender 100.
ações no contrato de opção. Data de vencimento - Último dia em que a opção pode ser exercida.
VALOR DA OPÇÃO DE CHAMADA NA EXPIRAÇÃO.
V = Máx [0, S - X] V = Preço da Chamada S = Preço do Estoque X = Exercício ou Preço de Exercício V = f (S, X, T, rrf, σ2) T = Tempo σ2 = Variação dos retornos das ações rf = Taxa Livre de Risco.
LIGUE A OPÇÃO À IBM.
Preço da Ação da IBM STRIKE EXP VOL LAST 178,50 160 Dez 376 25,10 178,50 165 Dez 1763 18 178,50 170 Jan 466 11 178,50 180 Jan 1746 7,50 178,50 190 Jan 885 6,80 Valor do Exercício Opção Excesso Acima Preço Preço Expiração Preço Valor de Vencimento 178,50 160 Dez 18 .50 25,10 6,60 178,50 170 Jan 8,50 11 2,50.
Ted Westfall estava considerando a compra de 100 ações ordinárias da Stopgap Corporation por US $ 32,40 por ação no último dia de outubro. Como alternativa, Len Griffen, vizinho de Ted, sugeriu que Ted considerasse uma opção de Stopgap. Juntos, eles examinaram as informações a seguir que foram obtidas de seu corretor. O preço dos exercícios é de 30,6 2 35 3,50 4,75 Quais são os lucros e as taxas de retorno do Ted se ele fizer as seguintes compras e, posteriormente, fechar sua posição no vencimento, dados os preços das ações conforme indicado abaixo? uma. Uma chamada com um preço de exercício de 30. A ação termina em 41,90. b. Uma chamada com um preço de exercício de 35. A ação termina em 33. c. Um put com um preço de exercício de 30. O estoque termina em 37. d. Um põr com um preço de exercício de 35. O estoque termina em 29.
PREÇO DE OPÇÕES O Modelo Black Scholes de Precificação de Opção baseia-se no conceito de hedge sem risco.
Cobertura sem risco Ao comprar a quantidade apropriada de estoque e vender chamadas, pode-se garantir o mesmo pagamento.
na expiração da carteira de ações, independentemente de onde o preço da ação acabe.
No vencimento - o intervalo de preços das ações Faixa Preço de ações Baixo $ 30 Alto $ 50 Faixa de $ 20.
PREÇO DE OPÇÕES Suponha que o preço de exercício seja de $ 35. X = $ 35.
Range Stock Price Valor de Call Low $ 30 $ 0 High $ 50 $ 15 Range $ 20 $ 15 O intervalo de pagamentos precisa ser idêntico para ter um hedge perfeito. Ao comprar 0,75 ações e vender uma ligação, o intervalo de pagamentos é igual.
OPÇÃO PRICING Gama de ações Preço Valor de venda Baixo $ 22.50 $ 0 Alto $ 37.50 $ 15 Intervalo $ 15 $ 15 Portfólio - compre .75 ações e venda uma chamada. Valor do estoque de venda de um preço de intervalo final .75 Ações Chamada de carteira baixa $ 30 $ 22,50 - $ 0 = $ 22,50 Alta $ 50 $ 37,50 - $ 15 = $ 22,50 $ 22,50 é o valor da carteira no vencimento se o preço da ação cair em qualquer lugar.
VALORIZAÇÃO DAS OPÇÕES DE AÇÕES Se houver um ano para expirar e o preço do estoque for igual a US $ 40 por ação, poderíamos.
calcular o valor da opção de compra agora. 1. Sabemos o valor da carteira de ações compradas .75 e uma chamada curta no.
a ação vale US $ 22,50 no vencimento. Como isso é certo, podemos descontar o valor da carteira na taxa livre de risco. rrf = 8%
2. Valor da carteira um ano após o vencimento Valor da Carteira = $ 22,50 * 1 / 1,08 = $ 20,83 3. Valor da Chamada = 0,75 (40) - 20,83 = $ 9,17.
MODELO DE PREÇO DO PREÇO DAS ESCOLHAS NEGRAS V = S [N (d1)] - X e – r rf * T [N (d2)] ln (S / X) + [rrf + (σ2 / 2)] * T d1 = - ----------------------------------- σ (T) 1/2.
d2 = d1 - σ (T) 1/2 V = Valor atual da chamada S = Preço atual do estoque subjacente. N (di) = Probabilidade de que um sorteio aleatório de uma distribuição normal padrão seja menor.
de di X = Preço de Exercício rf = Taxa Livre de Risco T = Tempo ln (S / X) = Logaritmo Natural de S / X σ2 = Variação da taxa de retorno do estoque.
PREMISSAS DE PREGOS SCHOLES.
• O estoque subjacente à opção de compra não fornece dividendos durante a vida do.
opção. • sem custos de transação • A taxa livre de risco é conhecida e constante e = Função Exponencial 2.7183 • A opção de compra só pode ser exercida na data de vencimento. • Assume que não há dividendos pagos. • A negociação de segurança ocorre em tempo contínuo.
Áreas para uma distribuição normal padrão Uma entrada na tabela é a área sob a curva, entre z = O e um valor positivo de z. Áreas para valores negativos de z são obtidas por simetria.
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